Regla del tres, demostración enrevesada

05 Nov 2019

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Para esta entrada, me gustaría explorar una propiedad de los numeros naturales (o enteros en este caso) que se enseña en primaria, pero su demostración requiere una pequeña peculiaridad del sistema decimal.

Índice

• Índice
• La regla del tres
• Definiciones
• Una demostración de la Regla del Tres

La regla del tres

Pongamos que tenemos un número grande, como \(543\), y queremos saber si es divisible por tres, es decir, que si cuando lo dividamos entre tres, el resto sea 0

\[543 = 3\cdot k,\qquad\text{para algún }k\in\mathbb{Z}\]

Una manera sencilla de comprobarlo, sería dividir y ya está, pero, ¿y si fuese mucho más difícil? La regla del tres podría asistirnos, dice: un número es divisible entre tres si y sólo si la suma de sus dígitos decimales es divisible entre tres. Así que comprobamos:

\[5+4+3 = 12\]

¡Es divisible entre tres! (De hecho, podríamos seguir dado que \(1+2=3\))

Con el nueve tenemos una regla similar, pero, ¿por qué funciona?

Primero, quitémonos unas pocas definiciones de en medio:

Definiciones

En álgebra, llamamos a un conjunto que tiene definido sobre sus elementos una suma y una multiplicación un anillo, si esas operaciones cumplen ciertas propiedades, no nos metemos en mucho detalle, pero las propiedades básicas son (vamos a asumir que estamos en un anillo conmutativo, esto significa que \(a\cdot b = b\cdot a\)), sea \(R\) un anillo:

• \(R\) esta cerrado por la suma, esto quiere decir que si tenemos dos elementos del anillo y los sumamos, “no nos salimos”, es decir, la suma sigue estando en el anillo. La sima también cumple las siguientes propiedades:
  1. Es asociativa: \(a + (b+c) = (a+b) + c\)
  2. Es conmutativa: \(a + b = b + a\)
  3. Existe un elemento llamado cero (0) que actúa como elemento neutro para la suma, esto quiere decir que \(0+a=a\)
  4. Para cada elemento \(a\) en \(R\) existe una inversa aditiva llamada \(-a\), tal que \(a + (-a) = 0\).
• \(R\) esta cerrado por la multiplicación, esto quiere decir, como antes, que si multiplicamos dos elementos del anillo, el producto segirá estando en el anillo. El producto también tiene las siguientes propiedades:
  1. Conmutativo. Como hemos dicho en la definición, esto no forma parte de la definición normal de anillo, pero, como no queremos¹ meternos en anillos no conmutativos, asumiremos que la multiplicación es conmutativa.
  2. Es asociativa: \(a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c\)
  3. Existe un elemento llamado uno (1) que actúa como identidad para la multiplicación, es decir \(1\cdot a = a\)
• Ambas son asociativas entre sí: \(a(b + c) = ab + ac\)

Puede que estés pensando “Espera un segundo, ¡todos los conjuntos de números que conozco siguen esta definición!”², estás en lo cierto en su mayor parte, por eso mismo usamos esta definición en álgebra.

Digamos ahora, que tienes el conjunto de todos los enteros

\[\mathbb{Z}= \lbrace \cdots, -4,-3,-2,-1, 0, 1,2,3,4,\cdots \rbrace\]

¿Qué pasaría si quisiésemos multiplicar todos los elementos por, que se yo, tres? Esto se escribiría como sigue:

\[3\mathbb{Z} = \lbrace \cdots, -12,-9,-6,-3, 0, 3,6,9,12,\cdots \rbrace\]

Y ahora, ¿y si queremos todos los posibles restos de dividir entre tres? Esto es lo que llamamos anillos modulares, y se definen con una relación que veremos en un momento, por ahora:

\[\mathbb{Z}_3 = \mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}} = \lbrace \bar{0}, \bar{1}, \bar{2} \rbrace\]

La notación con la barra vendrá muy bien más adelante.

Está claro que los únicos posibles restos de dividir entre tres son 0, 1 y dos. Determinamos cual es el resto de un número usando el Algoritmo Euclídeo de división, también llamado división con caja, lo cual nos da, para un entero cualquiera \(m\):

\[m = 3\cdot k + r\]

Donde \(k\) es el cociente, y \(r\) nuestro resto. Lo que hace el anillo de arriba es “comprimir” todos los elementos de \(\mathbb{Z}\) en su clase modular, o, el resto que dan al dividir entre tres, en general escrito con la barra, entonces \(\bar{2}\) representará cualquier número que de un resto de 2 cuando dividamos entre tres.

Este anillo es lo que se llama un “anillo cíclico”, porque está claro que si sumamos \(\bar{2}+\bar{1}=\bar{0}\), ¿por qué? Porque sumar un número que de resto 1 y un número que de resto 2 (dividiendo entre tres) siempre dará un número divisible entre tres.

Este anillo está cerrado y tiene buenas propiedades (al ser 3 un número primo) pero, ¿a qué va todo esto? Porque tenemos una manera de incrustar nuestro números en decimal aquí, es el operador módulo, y tiene una notacción horrorosa:

Diremos que \(x \equiv 2 \mod 3\) o \(x\equiv \bar{2}\)³ si el resto al dividir entre tres es dos. Esta operación, tal y como está definida, tiene la buena propiedad de poder meterla a través de paréntesis como consecuencia de que \(\mathbb{Z}_3\) es un anillo cíclico, Esto significa, y perdón por la notación pero no la he inventado yo, que:

\[(a+b)\mod 3 = \left[ a \mod 3 + b \mod 3 \right]\mod 3\]

Lo cual es la razón por la que prefiero usar las barras y fingir que todo lo que pasa debajo está en un anillo modular.

Volvemos a la regla del tres:

Una demostración de la Regla del Tres

Imaginemos que nos dan un número \(x\) en \(\mathbb{Z}\), este número tendrá una serie de dígitos en decimal, nos referiremos a estos dígitos como \(x_n,\dots,x_2,x_1,x_0\) tal que: \(x = x_n10^n + \cdots + x_1 10 + x_010^0\)

(recordamos que \(10^0 = 0\))

Ahora, queremos demostrar que, si \(x\) es divisible entre 3, es decir, si \(x\equiv 0\mod 3\) o \(x\equiv\bar{0}\), la suma de sus dígitos también lo es.

Comenzamos tomando el módulo de \(x\), asumiremos que \(x\) es divisible entre tres para así demostrar la afirmación:

\[\begin{eqnarray} x \equiv 0\mod 3 \Rightarrow x \mod 3\equiv 0 \Rightarrow (x_n10^n + \cdots + x_1 10 + x_010^0) \mod 3 &\equiv& 0 \\ (x_n10^n\mod 3) + \cdots + (x_1 10\mod 3) + (x_010^0\mod 3) &\equiv& 0 \end{eqnarray}\]

Ahora, pasamos el módulo dentro de los productos y hacemos un cambio de notación para trasladarnos a \(\mathbb{Z}_3\), aquí, como es un anillo:

\[\overline{x_n10^n}=\overline{x_n}\cdot\overline{10^n}\]

Ahora, podemos reescribir la ecuación de arriba como:

\[\overline{x_n}\cdot\overline{10^n} + \cdots + \overline{x_1}\cdot\overline{10^1} + \overline{x_0}\cdot\overline{1} \equiv \bar{0}\]

Ahora, es fácil ver que todas las potencias de diez serán equivalentes a 1 mod 3:

\[\begin{eqnarray} 10 = 3\cdot 3 + 1\therefore \overline{10}&\equiv&\bar{1}\\ \overline{10^2} = \overline{10}\cdot\overline{10}&\equiv& \bar{1}\cdot\bar{1}=\bar{1}\\ \overline{10^3} = \overline{10}\cdot\overline{10^2}&\equiv& \bar{1}\cdot\bar{1}=\bar{1}\\ &\vdots&\\ \overline{10^n} = \overline{10}\cdot\overline{10^{n-1}}&\equiv& \bar{1}\cdot\bar{1}=\bar{1}\\ \end{eqnarray}\]

Ahora, reescribiendo de nuevo la ecuación de arriba:

\[\overline{x_n}\cdot\overline{1} + \cdots + \overline{x_1}\cdot\overline{1} + \overline{x_0}\cdot\overline{1} \equiv \bar{0}\]

Y, usando la propiedad asociativa:

\[(\overline{x_n} + \cdots + \overline{x_1} + \overline{x_0})\overline{1} \equiv \bar{0}\]

Y ahora, tenemos dos cosas, y su producto es cero, como \(\mathbb{Z}_3\) se porta bien (véase: no tiene divisores del cero), tendremos que asumir que, o bien \((\overline{x_n}\cdot+ \cdots + \overline{x_1}\cdot + \overline{x_0}\cdot)\equiv 0\) o \(\bar{1}\equiv\bar{0}\) y lo segundo es imposible, así que tendremos:

\[(\overline{x_n}+ \cdots + \overline{x_1} + \overline{x_0})\equiv 0\]

Lo que significará que la suma de los dígitos es divisible entre tres.

\[\hspace{25cm}\blacksquare\]

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